强推数学好的人是如何思考的绝对能让

第一章序学习数学前你需要了解的事

成年人学习初中数学的意义

根本没必要学数学吗

“根本没必要学习数学！踏入社会后，只要会加减乘除，再懂点比例之类的概念就足够了，中学学那么多复杂的数学知识简直是在浪费时间！”估计对数学抱有这种怨念的人不在少数。

然而，几年前国内开始掀起一股“成年人重修数学”的热潮，许多相关书籍竞相出版，这股热潮延续至今。如今，许多有一定规模的书店都有专为成年人重学数学设立的“数学书籍专柜”，而永野数学私塾开设的“成年人数学补习班”，近几年前来咨询的人数也呈明显上升趋势。

或许，大家已经发现了：“学习数学还是有必要的。”

如今我们的智能手机上都附带计算器功能，文具店也都能买到计算器，更不用说个人电脑了，Excel和账目管家这类软件能很快完成繁琐的计算，踏入社会后，你会感到几乎没有什么用纸和笔进行计算的机会。没错，这种现象说白了就是“优秀的计算能力”的价值在逐渐下降，而与之相反的是，“逻辑思考能力”“独立思考能力”的价值则越发突出。

如今的世界是多元化的，当初那种所有人坚持相同的价值观、盲目朝着一致目标努力的时代早已结束。现代社会有着庞大的信息网，所有人都可以通过博客、Twitter、Facebook等平台发表自己的言论，似乎人人都是评论员。在信息与个体意识交融的风暴中，人们不会再盲目地追求统一的价值观，也许到昨天为止还被认为正确的事，到了今天就变成错误的了。

其实在我们目前的生活中，需要的不是按部就班或是依照习惯处理事情的能力，而是要能自我思考并付诸行动，让他人认可自己的想法。换句话说，能以独到的视角看穿事物的本质，并有条理地向他人解释说明，这才是我们在现代社会需要具备的能力。

初中数学其实很有用

“说是那么说，但到底怎样才能具备这种能力呢？”

我想很多人都存在这样的疑问。既然你已经拿起这本书，就说明你已经找到这个问题的答案了。没错，通过学习数学能磨炼出你在现代社会生存所需的技能。

因式分解、二次方程、勾股定理在现实生活中确实没什么用处，但话又说回来，懂得因式分解，能解二次方程，其实都不是学习数学的真正目的。事实上，数学公式与解题方法背后暗含的处理问题的方法和思考方式，才是我们需要通过学习数学磨炼出的能力。在这里，我引用一下自己常常挂在嘴边的爱因斯坦名言：

“所谓教育，是忘却了在校学得的全部内容之后所剩下的本领。为了让这个本领能便利地解决社会中面临的诸多问题，教育应该培养的是能够独立思考和独立行动的人。”

其实你把之前所学的数学定理、公式、解题方法忘了也没关系，因为踏入社会后，大部分人是不会用到的。但如果你不仅把这些知识忘得一干二净，也没学到其他东西，恕我直言，那只能说明你的数学确实白学了……

其实这样学习的人不只你一个，当时我们忙着应付期中、期末和升学考试，根本没有功夫去思考学习数学的真正意义。为了通过连续不断的考试，我们一头扎进习题堆，认为只要努力就会有回报，谁又忍心去责备这样辛苦的学生时代呢？后来，当你走向社会，发现当初拼命记住的公式和解题方法全无用武之地，难免会觉得“数学一点儿用处都没有”。

为什么对于大多数人而言，数学是没用的呢？最根本的原因是我们从认识这门学科开始，就采取了错误的学习方法。在学习初中数学时，我们先学习负数和代数式，接着是方程、函数、几何图形的全等和相似……当我们按照“计算法则”学习这些知识的时候，就会渐渐朝着错误的方向前进，换言之，我们在这样的学习过程中已经忘掉了学习数学的真正目的。很多人认为算数和数学是一回事，其实不然，算术与数学的学习方法并不相同。

只要选对学习方法，谁都能学好数学，不仅如此，数学还能让我们学会“自我思考”，帮我们找到处理日常生活中的问题的方法。懂得如何自我思考会让我们受益终生，一辈子也忘不了，这正是爱因斯坦所说的“忘却了在校学得的全部内容之后所剩下的本领”。

无论你是否擅长数学，只要你想通过学习数学掌握对今后生活有帮助的技能，我强烈建议你更正学习方法，从全新的角度重新学习初中数学。

有人可能会质疑：“初中数学能对人生起到多大的帮助？”也有些人觉得成年人再次学习初中数学是在绕远路，而且学习效率低下。我明白大家的顾虑，但任何事情都要从基本做起，打好基础才是通向成功的捷径。相较之下，你会发现在初中数学中，到处都是培养逻辑思考能力所需的基础知识，这才是重点。

我在前作《写给全人类的数学魔法书》中，提出“用正确的方法学习，任何人都能学好数学”，并针对正确学习数学的方法和“遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路”进行了阐述。托读者们的福，这本书的反响还不错，但由于书中内容是以高中一年级的知识为基础，有些人觉得“太难了”。因此，本书将从最简单的数学开始，以成年人的视角学习初中数学，并告诉大家如何走进数学世界，帮助大家从初中数学中获得逻辑思考的能力。

成年人学习数学的意义

不仅是数学，在学习任何新东西时，“画面感”都是最重要的。

简单来说，“明白”某件事是指你了解此事，并可以用自己的语言进行描述，只是知道事情的原委，并不代表真的明白。要想知道自己是否真的掌握了所学的知识，是不是真的明白了，不妨问问自己：“我能不能讲得让奶奶也能够理解呢？”我想此时你的理解一定会以画面的形式浮现在眼前。

要让一个人理解你的意思，你肯定得根据对方的理解能力选择措辞，还要尽量说得简单易懂，如果连你自己也只知道个大概，那对方也不会明白。就拿数学来说，书本上罗列的是枯燥无味的公式和几何图案，只有结合现实中的画面，我们才会发现它们的意义。如果你要通过自己的语言进行描述，必须以理解这个“意义”为基础，这样才能领悟出潜藏于公式和解题方法之中的真正涵义。是把数学作为单纯的背诵科目，让它沦为无用之物，还是让数学变成生存所需的无价智慧，关键就在于此。

那么，如何在学习数学的过程中产生画面感呢？这就需要你具有丰富的词汇积累和人生经验，而在这点上，成年人具备压倒性的优势。

毫无疑问，与成年人相比，初中生的词汇量和人生经验都明显不足，所以老师在教学中应该运用具体图片赋予数学生命力，然而这么做的老师并不多。如此一来，大多数学生只会觉得数学离现实生活越来越远，越学越摸不着头脑，数学考试也像酷刑，只会让人痛苦，这不禁让人有些痛心。

而成年人掌握了大量词汇，也在不知不觉中积累了丰富的人生经验，也就是说，成年人自然而然地培养出了数学学习中不可或缺的想象力。

成年人重学数学的优势很多，其中最大的优势就是“已经学过一次”。尽管你在当时可能学得不怎么样，但不是还能模糊地记得一些公式定理和概念吗？我认为，大多数人对这些学过的知识还是有些印象的，这就是优势所在。对初次学习数学的初中生来说，有些部分必须按照教育部规定的教学计划学习，但对于学过一次的我们来说，就能大胆地重新制定自己的学习计划了。

本书就是要帮你通过“画面感”和“重新制定计划”学到不一样的数学。

初中数学背后的7个技能

本书是我根据初中数学的知识框架，加入了内容和图片编写而成。为了让大家掌握思考问题的方法和技巧，我总结出了以下“7个技能”。

概念理解

看穿本质

合理解题

抓住因果关系

增加信息

令人信服

从局部看整体

你一定没想到，初中数学中竟然隐藏着这么多逻辑思考的提示。

举个例子，初二学生学的“三角形的全等条件”可能在日常生活中完全用不到，这个知识如果只在解数学题时才会用到，那就是典型的“无用之物”。但是，如果我们以“如何判定两个三角形全等”为例，说明“如何高效收集信息”会怎么样？又或者尝试以此概念为基础，发掘出全等三角形的潜藏特性又会如何？你可能多少会觉得“有点儿用处”吧。

通过本书的重新编写，你会发现课本中原先七零八落的知识点，彼此之间的关系瞬间明朗，整个初中数学就如同一棵脉络清晰的大树。只要你抓住主干，深入理解各个单元的内容，学习速度也会显著提升。

我们时常能听到这些话：“数学是有用的。”“社会人士也需要具备与数学相关的逻辑思维能力。”然而对于不擅长数学的人来说，他们也许完全不明白数学的用处在哪里。因此，我之前提到的“7个技能”正是为这些人准备的。

这里说的“技能”并非解答数学题的窍门，它可以运用在与数学毫无关系的日常生活和工作中，是事情的处理方法、思考方法和解决方法。如果这本书让你觉得“原来数学是有用的”，那么作为本书的作者，我会感到无上喜悦。

10种思路与7个技能

我在前作《写给全人类的数学魔法书》中列出了“遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路”，这是我从高中数学约个典型解题方法中，总结出的数学共通性基本思考方式。“擅长数学的人是如何思考并解决问题的呢？”我相信你能从这本书中找到答案，我在此只简单将这些办法罗列出来。

“遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路”：

降低次方和次数

寻找周期性和规律性

寻找对称性

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逆向思维

与其考虑相加，不如考虑相乘

相对比较

归纳性的思考实验

数学问题的图像化

等值替换

通过终点来追溯起点

就算遇到以前没见过的新问题，使用这些思路也可以想出解决方案。就如同高尔夫球赛中的制胜战术，这种思考方式也是无价的。

由于“10种思路”具有实战性，需要你做好一定程度上的准备，这与高尔夫球教练在球场上说“遇到这种情况要用5号球杆”一样。相对而言，“7个技能”是熟练运用“10种思路”的必要基础，如果还以打高尔夫球为例，“7个技能”就相当于选手比赛前必须熟悉的战术和方法。掌握这“7个技能”，你便能自如地运用“10种思路”，让数学从此跟你“化敌为友”。

对于不擅长数学的人来说，计算公式和几何图形可能如同路边的无声石子般可有可无。然而，数学的语言是极其有力的，其中还可能隐藏着宇宙中的诸多真理。人类的历史几乎没有离开过数学，几乎所有国家都将数学作为义务教育课程也说明了它的重要性。只要拥有“7个技能”和“10种思路”，你就可以通过数学语言，掌握无穷尽的信息。

为什么你学数学的方法不对

算数是结果，数学是过程

很多人认为数学就是算数，而在我看来，这个想法也许正是让他们弄错数学学习方法的罪魁祸首。

再重申一次，数学和算数看似相同，实则不然。算数的目的是得出正确的结果，而数学更注重得到结果的推理过程，换句话说，算数追求的是计算的正确性，而数学追求的是逻辑的正确性。

比如，在计算23×15时，如果心算算不出来，我们就会列出下面的算式进行笔算：

在做算数题的时候，为什么用这个方法可以得到正确答案呢？我想大部分人都不会去思考这个问题，也同样没人考虑过为什么小学生能通过笔算得出正确答案。我们之所以会忽略这些问题，就是因为我们只注重结果，认为只要答案正确就达到了解题的目的。学珠算的孩子会借助口诀进行计算，有些知识面较广的孩子还可能会用印度式计算法进行计算，但不管用什么方法，只要23×15的答案是“”，就能得分。

计算是数学的一部分，我们都知道用某个计算方法能得出正确结果，但思考不能就此停止，我们还要明白其中的来龙去脉。

为了找出上述问题的答案，首先我们要了解什么叫十进制。如果没有特殊标注，“23”指代的就是“2个10和3个1”。你可能会觉得：这不是明摆着的吗？有什么好解释的。但是，数学中并不是只有十进制，比如，古苏美尔和古巴比伦时期使用的就是六十进制；即便是现代，尼日利亚和尼泊尔等地也在使用十二进制。在我们的日常生活中，也有许多非十进制的单位，比如尺寸等。

综上所述，在十进制中，23×15的意思是：用23，再用我们在后面会学到的乘法分配律进行计算。

3×5=15

20×5=

3×10=30

20×10=

经过简化，就变成了下面的列式。如此一来，大家就明白为什么通过笔算能得出正确的答案了吧。

简单计算两个数相乘，就蕴含着如此复杂的逻辑推理过程。在数学中，为了让别人了解得到正确答案的解题过程，我们就需要有逻辑地证明出来。

再举个例子，比如著名的龟鹤算。

问题

鹤和乌龟共8只，一共有20只脚。请问鹤和乌龟分别有几只？

这道题的标准解题方法如下。

首先，假设8只全是鹤：8×2=16，那么脚的数量就是16只。

可是，这比题目中的20只脚少了4只。如果1只鹤换成1只乌龟，脚的数量就增加了2只。通过替换来弥补4只脚的差距；4÷2=2，那么只要将2只鹤换成2只乌龟即可。

因此：

8-2=6

0+2=2

答案为鹤有6只，乌龟有2只。

下面的面积图解法也是龟鹤算常用的解题方法之一。

怎么样？学会了吗？不过你现在要考虑的问题并不是是否学会了龟鹤算，而是思考“为什么这样解题”。

当然，无论是在学校还是补习班，都有在课上积极讲解解题思路的老师，这样的老师在解题时可能会先假设一个极端的例子，然后再根据实际的题目加以增补或减免等。

但是不夸张地说，大部分老师只会用算数的方法来教“数学”。如果把数学当成算数，或是为了应付中考只告诉学生解题方法，那么学生们只要掌握了标准的解题方法，在其基础上稍加活用就能得出问题的标准答案。

顺便说一句，我当初读的是小初高一体化的学校，并没有学过龟鹤算，因为这种需要使用特殊算法解开的问题，都能通过初中数学中的方程来解答。

那么，我们为什么要学习这类特殊的算法呢？我认为，也许只有这种需要用特殊算法解决的问题，才能在初中入学考试中体现出学生的能力差距吧。另外，在初中入学考试中，好学校不仅会出需要用标准解题方法解答的问题，还会出一些能够测试学生“思考能力”的问题。

为什么乘法运算存在运算顺序问题

你知道乘法运算存在运算顺序吗？年的《朝日新闻》中首次提出了这个问题，虽然已经过去了这么久，但至今尚未完全解决。年年末，网络媒体博主白川克先生发表了一篇帖子，在网上引起了不小的争论。帖子的标题是：《6×8是正确的，8×6却是错误的？算数中的加拉帕戈斯化》。其登在年《朝日新闻》上的问题大致如下：

考试中出了这样一道题：“我想给6个孩子每人4个橘子，请问共需要多少个橘子？”

对于这个问题，小学二年级的学生写成：6×4=24。

如果这么写，老师就会在算式上打×，然后改成：4×6=24。

家长看到孩子的试卷十分气愤，针对学校的教育方式，与学校展开了争论……

成年人都觉得这样的判定太不合理，我也有同感，因为乘法运算中有交换律：

a×b=b×a

如果“4×6”是正确的，“6×4”却是错误的，那么这的确让人匪夷所思。

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